Question

(本小題滿分12分)
某地區對12歲兒童瞬時記憶能力進行調查．瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力.某班學生共有40人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調查結果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人．

視覺		視覺記憶能力
		偏低	中等	偏高	超常
聽覺 記憶 能力	偏低	0	7	5	1
	中等	1	8	3
	偏高	2		0	1
	超常	0	2	1	1

由于部分數據丟失，只知道從這40位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為．
（I）試確定、的值；
（II）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率；
（III）從40人中任意抽取3人，設具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數為，求隨機變量的數學期望．

Answer 1

（1）的值為6，的值為2． （2）．
（3）的分布列為

	0	1	2	3

 
隨機變量的數學期望為．

本試題主要是考查了分布列和數學期望的運算，以及古典概型概率的運算，對立事件的概率等綜合運用。
（1）由表格數據可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有人．記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件，
利用古典概型概率公式，則，解得，．
（2）由表格數據可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生共有8人．
記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件，
則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件，運用對立事件的概率公式可知．
（3）由于從40位學生中任意抽取3位的結果數為，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生共24人，從40位學生中任意抽取3位，其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結果數為，所以從40位學生中任意抽取3位，其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為， ，然后列出分布列。
解：（1）由表格數據可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有人．記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件，
則，解得．………………………………………………2分
所以．
答：的值為6，的值為2．………………………………………………………3分
（2）由表格數據可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生共有8人．
方法1：記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件，
則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件，
所以．
答：從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率為．……………………………………………………………6分
方法2：記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件，
所以．
答：從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率為．……………………………………………………6分
（3）由于從40位學生中任意抽取3位的結果數為，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生共24人，從40位學生中任意抽取3位，其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結果數為，………………………7分
所以從40位學生中任意抽取3位，其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為，…………………………8分
的可能取值為0，1，2，3，………………………………………………9分
因為， ，
，，
所以的分布列為

	0	1	2	3

 
……10分
所以．
答：隨機變量的數學期望為．…………………………………………12分