Question

【題目】已知函數f（x）=2|x+1|+|2x﹣a|（x∈R）．
（1）當a＞﹣2時，函數f（x）的最小值為4，求實數a的值；
（2）若對于任意，x∈[﹣1，4]，不等式f（x）≥3x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：將函數分段為： ，

∴當且僅當 時，f（x）min=a+2，

由題意得a+2=4，即a=2

（2）解：當x∈[﹣1，4]時f（x）≥3x恒成立|2x﹣a|≥x﹣2恒成立，

若﹣1≤x＜2，不等式恒成立，此時a∈R；

若2≤x≤4，|2x﹣a|≥x﹣22x﹣a≥x﹣2或2x﹣a≤（x﹣2），

即a≤x+2或a≥3x﹣2在x∈[2，4]恒成立，所以a≤4或a≥10，

綜上知，所求實數a的取值范圍是（﹣∞，4]∪[10，+∞）

【解析】（1）求出函數的分段函數的形式，求出f（x）的最小值，得到關于a的方程，解出即可；（2）問題等價于|2x﹣a|≥x﹣2恒成立，通過討論x的范圍，求出a的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．