Question

如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，側棱垂直于底面，D是AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求證：平面BDA₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

（1）連結AB₁，交A₁B于點E，連結OE
∵四邊形AA₁B₁B為平行四邊形，
∴E為AB₁的中點，
∵D是AC的中點，可得DE為△AB₁C的中位線，
∴DE∥B₁C，
∵DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴BD⊥AA₁，
∵AC、AA₁是平面ACC₁A₁內的相交直線，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．