Question

已知圓M：(x+)²+y²=36,定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足=0.

(1)(理22(1)文21(1))求點G的軌跡C的方程；

(2)(理22(2))過點(2，0)作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直線l的方程，若不存在，試說明理由.

(文21(2))直線l的方程為l:3x-2y-6=0，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，且，求證：四邊形OASB為矩形.

Answer 1

(1)解：(理22(1)文21(1))GQ為NP的中垂線|GP|=|GN|，

∴|GN|+|GM|=|MP|=6.故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其半長軸長a=3,半焦距c=.

∴半短軸長b=2.∴點G的軌跡方程是=1.

(2)(理22(2))解：∵，∴四邊形OASB為平行四邊形.若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形，∴=0.若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2,

由得.∴=＞0,與=0矛盾，故l的斜率存在.設l的方程為y=k(x-2),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由(9k²+4)x²-36k²x+36(k²-1)=0.

∴x₁+x₂=,x₁x₂=，①

y₁y₂=［k(x₁-2)］［k(x₂-2)］=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=.②

把①②代入x₁x₂+y₁y₂=0,得k=±.∴存在直線l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對角線相等.

(文21(2))證明:∵,∴四邊形OASB為平行四邊形.

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由=1x²-81x+45=0.

∴x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁-2)(x₂-2)=x₁x₂(x₁+x₂)+9=+9=0.∴四邊形OASB為矩形.