Question

已知圓M：(x+

5

)2+y2=36，定點N（

5

，0），點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）過點（2，0）作斜率為k的直線l，與曲線C交于A，B兩點，O是坐標原點，是否存在這樣的直線l，使得

OA

•

OB

≤-1？若存在，求出直線l的斜率k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）點Q在NP上，點G在MP上，由已知有|GN|+|GM|=|MP|=6，由橢圓的定義知G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，由定義寫出其標準方程即可得到點G的軌跡C的方程．
（2）令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁x₂+y₁y₂＜-1，由直線l與曲線C聯立求利用根與系數的關系求出x₁x₂，y₁y₂的參數表達式，代入求直線的斜率k的范圍．

解答：解：由已知，Q為PN的中點且GQ⊥PN⇒GQ為PN的中垂線⇒|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長a=3，半焦距c=

5

，
∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是

x2

9

+

y2

4

=1
（II）設l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

⇒（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0
∴x₁₊x₂=

36k2

9k2+4

x₁x₂=

36(k2-1)

9k2+4

①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]=k²[x₁x₂-2（x₁₊x₂）+4]=

20k2

9k2+4

②

OA

•

OB

≤-1，即x₁x₂+y₁y₂＜-1
把①、②代入上式x₁x₂+y₁y₂=0得-

4 130

65

＜k＜

4 130

65

點評：本題的考點是軌跡方程，考查了定義法求橢圓的軌跡方程與直線與橢圓的相交問題，直線與橢圓的關系問題是圓錐曲線中一類常考的綜合題，其規律是聯立方程⇒消元得關于x，或y的一元二次方程，再利用根系關系得到兩個直線的交點的坐標滿足的方程，學習時應注意總結這一共性．