Question

已知函數f（x）=x³-2x²-4x-7．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求a＞2時，證明：對于任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f'（a）（x-a）；
（Ⅲ）設x₀是函數y=f（x）的零點，實數α滿足f(α)＞0，β=α-

f(α)

f′(α)

，試探究實數α、β、x₀的大小關系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a），利用導數證明g_min（x）＞0即可；
（Ⅲ）由函數極值可判斷零點x₀的范圍，再由f（α）＞0可判斷α與x₀的大小，由β=α-

f(α)

f′(α)

，得f（α）+f'（α）（β-α）=0，構造函數F（x）=f（α）+f'（α）（x-α），據F（x）的單調性及F（x₀）與F（β）的大小可判斷βx₀的大小，從而可以得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由f'（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2）=0，得x=-

2

3

或2．
則x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

則f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

2

3

)，（2，+∞），單調遞減區間為(-

2

3

，2)．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a），
則g'（x）=3x²-4x-4-（3a²-4a-4），記g'（x）=h（x），
因為當x＞2時，h'（x）=6x-4＞0，則h（x）在（2，+∞）單調遞增，
又因為g'（a）=h（a）=0，
所以當2＜x＜a時，g'（x）＜0，當x＞a時，g'（x）＞0，
所以g（x）在（2，a）遞減，在（a，+∞）遞增，又x≠a，
所以g（x）＞g（a）=0成立，所以命題得證．
（Ⅲ）因為f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

2

3

)，（2，+∞），單調遞減區間為(-

2

3

，2)，且f(-

2

3

)=-

149

27

＜0，
所以函數f（x）的零點x₀只有一個，且x₀＞2，且對（-∞，x₀）內的任意實數x，都有f（x）＜0，
因為f（α）＞0=f（x₀），所以α＞x₀＞2，所以f'（α）=（3α+2）（α-2）＞0，
在（Ⅱ）的結論中，取a=α，x=x₀，
則有f（α）+f'（a）（x₀-α）＜f（x₀）=0，①
由β=α-

f(α)

f′(α)

，得f（α）+f'（α）（β-α）=0，②
構造函數F（x）=f（α）+f'（α）（x-α），
則由①得F（x₀）＜0，由②得F（β）=0，所以F（x₀）＜F（β），
因為f'（α）＞0，所以F′（x）=f'（α）＞0，所以F（x）=f（α）+f'（α）（x-α）為增函數，
所以x₀＜β，
因為F（α）=f（a）＞0=F（β），所以β＜α，
綜上得x₀＜β＜α．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數極值，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，能力要求高，難度較大．