Question

在三棱錐S-ABC中，如圖，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，
BC=

13

，SB=

29

．
（1）證明：SC⊥BC；
（2）求側面SBC與底面ABC所成的二面角大小；
（3）（理）求異面直線SC與AB所成的角的大小（用反三角函數表示）．
（文）求三棱錐的體積V_S-ABC．

Answer 1

（1）證明：如圖，
∵∠SAB=∠SAC=90°
∴SA⊥底面ACB
又∵BC?底面ACB
∴SA⊥BC
又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SA∩AC=A
∴BC⊥面ASC
又∵SC?面ASC
∴SC⊥BC
（2）∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SC⊥BC
∴∠SCA即為側面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角
在Rt△ACB中，AC=2，BC=

13

，∴AB=

17

在Rt△SAB中，AB=

17

，SB=

29

，∴SA=2

3

在Rt△SAC中，SA=2

3

，AC=2，∴∠SCA=60°，
即側面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°
（3）
（理）分別取AC、SB、CB、SC的中點D、E、F、M，連接DE、EF、DF、ME、MD，則：ME∥CB，EF∥SC，DF∥AB，
所以異面直線SC與AB所成的角的大小即為∠EFD的大小．
∵ME∥CB，BC⊥面ASC
∴ME⊥面ASC
∴ME⊥MD，又ME=

13

2

，MD=

3

，則ED=

5

2

又∵EF=2，DF=

17

2

∴cos∠EFD=

EF2+DF2-ED2

2EF•DF

=

17

17

∴異面直線SC與AB所成的角的大小為arccos

17

17

．
（文）∵S△ACB=

1

2

AC•BC=

13

，SA=2

3

，
∴V_S-ABC=

1

3

•

13

•2

3

=

2 39

3

．