Question

某公園內有一橢圓形景觀水池，經測量知，橢圓長軸長為20米，短軸長為16米，現以橢圓長軸所在直線為軸，短軸所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：

（1）為增加景觀效果，擬在水池內選定兩點安裝水霧噴射口，要求橢圓上各點到這兩點距離之和都相等，請指出水霧噴射口的位置（用坐標表示），并求橢圓的方程。

（2）為了增加水池的觀賞性，擬劃出一個以橢圓的長軸頂點A、短軸頂點B及橢圓上某點M構成的三角形區域進行夜景燈光布置，請確定點M的位置，使此三角形區域面積最大。

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為            4分

（2）當選擇在點（，）安裝景觀燈時，三角形區域面積最大  

【解析】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

（I）設橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，則2a=20，2b=16，由橢圓定義知水霧噴射口的位置，并可得橢圓的方程；

（Ⅱ）記點M到直線AB的距離為d，過點M與AB平行的直線為l，則S_△ABM= 要使△ABM的面積最大，則只需d最大，即l與AB這兩平行線間的距離最大，設出方程代入橢圓方程即可求解．