Question

某公園內有一橢圓形景觀水池，經測量知，橢圓長軸長為20米，短軸長為16米．現以橢圓長軸所在直線為x軸，短軸所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示．
（I）為增加景觀效果，擬在水池內選定兩點安裝水霧噴射口，要求橢圓上各點到這兩點距離之和都相等，請指出水霧噴射口的位置（用坐標表示），并求橢圓的方程；
（Ⅱ）為增強水池的觀賞性，擬劃出一個以橢圓的長軸頂點A、短軸頂點B及橢圓上某點M構成的三角形區域進行夜景燈光布置．請確定點肘的位置，使此三角形區域面積最大．

Answer 1

解：（I）設橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，則2a=20，2b=16，∴a=10，b=8，c=6
由橢圓定義知，水霧噴射口的位置應選擇再橢圓的兩個焦點處，其左邊為（-6，0），（6，0）
橢圓的方程為；
（Ⅱ）由題知A（10，0），B（8，0）
記點M到直線AB的距離為d，過點M與AB平行的直線為l
∵|AB|=2，∴
要使△ABM的面積最大，則只需d最大，即l與AB這兩平行線間的距離最大
∴l與橢圓相切于第三象限的點M，即為所求的點
∵，∴設l的方程為：y=-+m
代入到橢圓方程，消元可得32x²-40mx+25m²-1600=0①
令△=1600m²-4×32×（25m²-1600）=0，可得m=±，由題意，m=-8
代入（1），可得x=-5，代入直線l的方程，可得y=-4
∴M（-5，-4）
∴當點M選擇在（-5，-4）時，三角形區域面積最大．
分析：（I）設橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，則2a=20，2b=16，由橢圓定義知水霧噴射口的位置，并可得橢圓的方程；
（Ⅱ）記點M到直線AB的距離為d，過點M與AB平行的直線為l，則，要使△ABM的面積最大，則只需d最大，即l與AB這兩平行線間的距離最大，設出方程代入橢圓方程即可求解．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．