Question

【題目】如圖是從上下底面處在水平狀態下的棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中分離出來的：
（1）試判斷A1是否在平面B1CD內；（回答是與否）
（2）求異面直線B1D1與C1D所成的角；
（3）如果用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多可以盛多少體積的水．

Answer 1

【答案】
（1）解：是．補全正方體如圖所示：

證明如下：連接A1D、B1C，∵A1B1∥DC，A1B1=DC，

∴四邊形A1B1CD是平行四邊形，

∴A1是在平面B1CD內

（2）解：連接AB1、AD1，∵對角面AB1C1D是矩形，∴AB1∥DC1，

∴∠AB1D1或其補角是異面直線B1D1與C1D所成的角．

∵AD1=AB1=D1B1，∴△AB1D1是正三角形．

∴∠AB1D1=60°．

∴異面直線B1D1與C1D所成的角是60°

（3）解：題目中的圖形一個裝置來盛水，那么盛最多體積的水時應是

三棱錐C1﹣B1CD1的體積．

又 ．

∴用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多可以盛 體積的水．

【解析】（1）利用正方體對角面是平行四邊形的性質即可得出；（2）利用對角面的性質、表面對角線組成的△AB1D1是等邊三角形即可求出；（3）題目中的圖形一個裝置來盛水，那么盛最多體積的水時應是三棱錐C1﹣B1CD1的體積．
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．