Question

【題目】將所有平面向量組成的集合記作，是從到的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記作或，其中、、、都是實(shí)數(shù)，定義對(duì)應(yīng)關(guān)系的模為：在的條件下的最大值記作，若存在非零向量，及實(shí)數(shù)使得，則稱(chēng)為的一個(gè)特殊值；

（1）若，求；

（2）如果，計(jì)算的特征值，并求相應(yīng)的；

（3）若，要使有唯一的特征值，實(shí)數(shù)、、、應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？試找出一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①有唯一的特征值，②，并驗(yàn)證滿(mǎn)足這兩個(gè)條件.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), .其中且；(3) ,證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)由新定義得,再利用得即可.

(2)由特征值的定義可得,由此可得的特征值,及相應(yīng)的

(3) 解方程組,再利用平行向量的方法求解證明即可.

(1)由于此時(shí),又因?yàn)槭窃?/span>的條件下,有,當(dāng)時(shí)取最大值,所以此時(shí)有;

(2)由,可得：,

解此方程組可得：,從而.

當(dāng)時(shí),解方程組,此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程,所以此時(shí)方程有無(wú)窮多個(gè)解,為 (寫(xiě)出一個(gè)即可),其中且.

當(dāng)時(shí),同理可得,相應(yīng)的 (寫(xiě)出一個(gè)即可),其中且 (3)解方程組,可得從而向量與平行,從而有、、、應(yīng)滿(mǎn)足：.

當(dāng)時(shí),有唯一的特征值,且.具體證明為：

由的定義可知：,所以為特征值.

此時(shí)滿(mǎn)足：,所以有唯一的特征值.

在的條件下,從而有.