Question

【題目】已知橢圓的長軸為，分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，D為橢圓上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，其中，求直線l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）易知，當(dāng)P點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)的面積最大，求出的值，然后寫出方程即可；

（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得，

設(shè)，，由韋達(dá)定理得出和的值，再由，得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程得到與的關(guān)系，繼而求出的范圍.

（1）因?yàn)闄E圓的長軸為，所以，

，因?yàn)?/span>面積的最大值為，

所以當(dāng)P點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)面積最大，，

解得，故所求的橢圓方程為；

（2）由題意可知該直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由得，

∴，得，

設(shè)，，，則，

由，得，

代入橢圓方程得，

由，得且，

所以，

∴.