Question

【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn)，， 動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若與曲線交于不同的、兩點(diǎn)，且 (為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率；

（3）若，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)為、，探究：直線是否過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)請寫出坐標(biāo)，若不存在則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)列出方程化簡，即可求解軌跡方程；

（2）依題意知，且，則點(diǎn)到邊的距離為1，列出方程，即可求解；

（3）根據(jù)題意，，則都在以為直徑的圓上，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，即可求解．

（1）由題，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，即，

整理得，

所以所求曲線的軌跡方程為．

（2）依題意，，且，

由圓的性質(zhì)，可得點(diǎn)到邊的距離為1，

即點(diǎn)到直線的距離為，解得，

所以所求直線的斜率為．

（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上，

是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，

則圓的圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

即圓的方程為，

又因?yàn)?/span>在曲線上，

由，可得，

即直線的方程為，

由且，可得，解得，

所以直線過定點(diǎn)．