Question

（2011•合肥三模）已知函數fn(x)=

1

3

x3-

1

2

(n+1)x2+x(n∈N*)，數列{a_n}滿足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根據猜想數列{a_n}的通項公式，并證明；
（3）求證：

1

(2a1-5)2

+

1

(2a2-5)2

+…+

1

(2an-5)2

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由已知，對f_n（x）求導，由a_n+1=f'_n（a_n）應得出a_n+1=a_n²-（n+1）a_n+1，利用此遞推式求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）求得的結果，應猜想a_n=n+2，可用數學歸納法證明．
（3）當k≥2時，

1

(2ak-5)2

=

1

(2k-1)2

＜

1

(2k-1)(2k-3)

=

1

2

（

1

2k-3

- 

1

2k-1

），
對不等式右邊的項放縮后，化簡整理，尋求出與

3

2

的大小關系，來證明不等式．

解答：解：（1）f'_n（x）=x²-（n+1）x+1，（n∈N^*）
∴a_n+1=a_n²-（n+1）a_n+1
∵a₁=3．
∴a₂=a₁²-2a₁+1=4
a₃=a₂²-3a₁+1=5
a₄=a₃²-4a₃+1=6
（2）猜想a_n=n+2
當n=1時，顯然成立
假設當n=k（k≥1）時成立，即有a_k=k+2
則當n=k+1時，a_k+1=a_k²-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1
=k+3=（k+1）+2
即當n=k+1時，猜想也成立．
所以對一切n∈N^*，a_n=n+2均成立．
（3）證明：當k≥2時，

1

(2ak-5)2

=

1

(2k-1)2

＜

1

(2k-1)(2k-3)

=

1

2

（

1

2k-3

- 

1

2k-1

）
所以n≥2時，有

1

(2a2-5)2

+

1

(2a3-5)2

+…+

1

(2an-5)2

＜

1

2

[（1-

1

3

）+(

1

3

-

1

5

)+…（

1

2n-3

-

1

2n-1

）]
=

1

2

（1-

1

2n-1

）＜

1

2

又

1

(2a1-5)2

=1，
所以

1

(2a1-5)2

+

1

(2a2-5)2

+…+

1

(2an-5)2

＜1+

1

2

=

3

2

，
原不等式成立．

點評：本題是函數、數列、不等式的綜合．考查了計算、歸納猜想、證明的數學思想方法，放縮法證明不等式（結合了裂項法數列求和）．