Question

（2011•合肥三模）已知

a

=（sinx+cosx，sinx-cosx），

b

=（sinx，cosx）
（1）若

a

∥

b

，求x的值；
（2）當x∈(-

π

6

，

π

4

)時，求函數f（x）=

a

•

b

的值域．

Answer 1

分析：（1）由題設條件

a

∥

b

，可以得到cosx（sinx+cosx）=sinx（sinx-cosx），整理得sin2x+cos2x=0，求得tan2x=-1，再求出x的值；
（2）求出函數f（x）=

a

•

b

的解析式，再由三角函數的性質求函數在x∈(-

π

6

，

π

4

)時的值域．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，

a

=（sinx+cosx，sinx-cosx），

b

=（sinx，cosx）
∴cosx（sinx+cosx）=sinx（sinx-cosx），
整理得sin2x+cos2x=0，
∴tan2x=-1，，
∴2x=kπ-

π

4

，k∈z，即x=

1

2

kπ-

π

8

，k∈z，
（2）f（x）=

a

•

b

=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx-cosx）=2sinxcosx+sin²x-cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
∵x∈(-

π

6

，

π

4

)，∴2x-

π

4

∈（-

7π

12

，

π

4

）
∴-1≤sin（2x-

π

4

）＜

2

2

，得-

2

≤f（x）＜1
，即函數f（x）=

a

•

b

的值域是[-

2

，1）

點評：本題考查三角恒等變換及化簡求值，解題的關鍵熟練掌握向量的數量積公式、正、余弦函數的二倍角公式，且能用這些公式對三角解析式進行化簡，本題中涉及到求三角函數的值域，一般是借助三角函數的單調性，本題是三角函數中的綜合題，考查全面，技巧性強，解題過程中注意體會知識的運用技巧．