Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且．

(1)求橢圓C的方程．

(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)與橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等，且直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，試判斷的周長(zhǎng)是否為定值?若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）的周長(zhǎng)為定值為，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由和離心率為建立關(guān)于a,b,c的方程，從而得橢圓的方程；

（2）根據(jù)直線被圓所截得的弦長(zhǎng)等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)得出k,m的關(guān)系，再將直線與橢圓的方程聯(lián)立消去y，得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理表達(dá)式，分別求出，得出的周長(zhǎng)為定值，得解.

（1）因?yàn)?/span>，所以，則即，所以橢圓C的方程可化為，

由得不妨令

易知則

因?yàn)?/span>，所以,即，

又，所以

所以橢圓C的方程為

（2）由（1）知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，因?yàn)橹本�被圓截得的弦長(zhǎng)與橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等，所以圓的圓心O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）到直線l的距離，所以，即

設(shè)，聯(lián)立方程，得整理得

所以，又，

所以

又

所以，

所以的周長(zhǎng)是.

所以的周長(zhǎng)為定值，為.

得解.