Question

【題目】設函數f（x）=|ex﹣a|+| ﹣1|，其中a，x∈R，e是自然對數的底數，e=2.71828…
（1）當a=0時，解不等式f（x）＜2；
（2）求函數f（x）的單調增區間；
（3）設a≥ ，討論關于x的方程f（f（x））= 的解的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，不等式f（x）＜2，即： ，

即 ，因此

得 ，所以 ，

所以原不等式的解集為 ．

（2）解：①當a≤0時，

因為x＞0時， ，x＜0時， ，

故f（x）在區間（﹣∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增；…（5分）

②當0＜a＜1時， ，

仿①得f（x）在（﹣∞，lna）和（lna，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，

即f（x）在區間（﹣∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增；（6分）

③當a=1時，

易得f（x）在區間（﹣∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增； …（7分）

④當a＞1時，

同理得f（x）在區間（﹣∞，lna）上單調遞減，在區間（lna，+∞）上單調遞增．…（8分）

綜上所述，

當a≤1時，f（x）在區間（﹣∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增；

當a＞1時，f（x）在區間（﹣∞，lna）上單調遞減，在區間（lna，+∞）上單調遞增．…（10分）

（3）解：由（2）知：當 時，因為 ，

又x→+∞時， ，

所以f（x）的值域為 ，且 （等號僅當 時�。�．）

令 ，

當 時， ，所以 不成立，原方程無解；

當 時，由 得 ，因為 ，所以 ，

所以 有兩個不相等的實數根，故原方程有兩個不同的實數解．

綜上所述，當 時，原方程無解；當 時，原方程有兩個不同的實數解．

【解析】（1）將a=0代入不等式，得到關于x的不等式組，解出即可；（2）通過討論a的范圍，求出f（x）的分段函數，從而求出函數的單調區間；（3）先求出函數的值域，結合換元法以及a的范圍，求出方程的解即可．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．