Question

設n是正整數，r為正有理數．
（Ⅰ）求函數f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數，例如．令的值．
（參考數據：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出函數f（x）的導函數f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函數的單調區間，進而求出最小值為f（0）=0；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）知，即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，令代入并化簡得，再令得，，即結論得到證明；
（Ⅲ）根據（Ⅱ）的結論，令，n分別取值81，82，83，…，125，分別列出不等式，再將各式相加得，，再由參考數據和條件進行求解．
解答：解；（Ⅰ）由題意得f'（x）=（r+1）（1+x）^r-（r+1）=（r+1）[（1+x）^r-1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
當-1＜x＜0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）內是減函數；
當x＞0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）內是增函數．
故函數f（x）在x=0處，取得最小值為f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），當x∈（-1，+∞）時，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，且等號當且僅當x=0時成立，
故當x＞-1且x≠0，有（1+x）^r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令（這時x＞-1且x≠0），得．
上式兩邊同乘n^r+1，得（n+1）^r+1＞n^r+1+n^r（r+1），
即，②
當n＞1時，在①中令（這時x＞-1且x≠0），
類似可得，③
且當n=1時，③也成立．
綜合②，③得，④
（Ⅲ）在④中，令，n分別取值81，82，83，…，125，
得，，，…，
將以上各式相加，并整理得．
代入數據計算，可得
由[S]的定義，得[S]=211．
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性和求最值，以及學生的創新精神，是否會觀察，會抽象概括，會用類比的方法得出其它結論，難度較大，注意利用上一問的結論．