Question

設n是正整數，r為正有理數．
（Ⅰ）求函數f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

；
（Ⅲ）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數，例如[2]=2，[π]=4，[-

3

2

]=-1．令S=

3	81

+

3	82

+

3	83

+…+

3	125

，求[S]的值．
（參考數據：80

4

3

≈344.7，81

4

3

≈350.5，124

4

3

≈618.3，126

4

3

≈631.7)．

Answer 1

解；（Ⅰ）由題意得f'（x）=（r+1）（1+x）^r-（r+1）=（r+1）[（1+x）^r-1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
當-1＜x＜0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）內是減函數；
當x＞0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）內是增函數．
故函數f（x）在x=0處，取得最小值為f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），當x∈（-1，+∞）時，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，且等號當且僅當x=0時成立，
故當x＞-1且x≠0，有（1+x）^r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令x=

1

n

（這時x＞-1且x≠0），得(1+

1

n

)r+1＞1+

r+1

n

．
上式兩邊同乘n^r+1，得（n+1）^r+1＞n^r+1+n^r（r+1），
即nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

，②
當n＞1時，在①中令x=-

1

n

（這時x＞-1且x≠0），
類似可得nr＞

nr+1-(n-1)r+1

r+1

，③
且當n=1時，③也成立．
綜合②，③得

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

，④
（Ⅲ）在④中，令r=

1

3

，n分別取值81，82，83，…，125，
得

3

4

(81

4

3

-80

4

3

)＜

3	81

＜

3

4

(82

4

3

-81

4

3

)，

3

4

(82

4

3

-81

4

3

)＜

3	82

＜

3

4

(83

4

3

-82

4

3

)，

3

4

(83

4

3

-82

4

3

)＜

3	83

＜

3

4

(84

4

3

-83

4

3

)，…

3

4

(125

4

3

-124

4

3

)＜

3	125

＜

3

4

(126

4

3

-125

4

3

)，
將以上各式相加，并整理得

3

4

(125

4

3

-80

4

3

)＜S＜

3

4

(126

4

3

-81

4

3

)．
代入數據計算，可得

3

4

(125

4

3

-80

4

3

)≈210.2，

3

4

(126

4

3

-81

4

3

)≈210.9
由[S]的定義，得[S]=211．