Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的圖象在點處切線的方程；

（2）討論函數的極值；

（3）若對任意的成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

（2）當時，函數取得極小值，且的極小值為，不存在極大值

（3）

【解析】

(1)先求導函數,然后根據導數的幾何意義求得切線的斜率為,再根據直線方程得點斜式求得函數的圖象在點處切線的方程;

(2)先求得導函數的零點,再判斷零點左右兩側導數的符號,根據導數符號可得極值點,從而可得極值.

(3) 將對任意的成立轉化為對任意的成立,然后構造函數,求導后討論得的單調性,根據單調性可得.

解：（1）因為，

所以，

所以.

又，

所以函數的圖象在點處切線的方程為，即.

（2）因為，

所以.

令,得,

因為時,,時,,

所以函數在處取得極小值,極小值為.不存在極大值.

（3）據題意，得對任意的成立，

即對任意的成立.

令，

所以.

討論：

當時，，此時在上單調遞增.

又，所以當時，，

這與對任意的恒成立矛盾；

當時，二次方程的判別式.

若，解得，此時，在上單調遞減.

又，

所以當時，，滿足題設；

若，解得，此時關于的方程的兩實數根是，，其中，.

又分析知，函數在區間上單調遞增，，

所以當時，，不符合題設.

綜上，所求實數的取值范圍是.