Question

(本小題滿分13分)已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的

底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F為棱BB₁的中點，

M為線段AC₁的中點.   （1）求證：直線MF∥平面ABCD；

   （2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

   （3）求平面AFC₁與與平面ABCD所成二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ) 見解析   （Ⅲ）30°或150°

解析:

法一：

   （1）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN。因為F是BB₁的中點，

       所以F為C₁N的中點，B為CN的中點。····2分

       又M是線段AC₁的中點，故MF∥AN。·····3分

       又MF平面ABCD，AN平面ABCD。

       ∴MF∥平面ABCD。    ···5分

   （2）證明：連BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁

       可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，

       ∴A₁A⊥BD。∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD。

       又∵AC∩A₁A=A，AC，AA平面ACC₁A₁。

       ∴BD⊥平面ACC₁A₁。         ·················7分

       在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形

       故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因為NA平面AFC₁

       ∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁

   （3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。

       又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

       ∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補角。···10分

       在Rt△C₁AC中，tan，故∠C₁AC=30°···12分

       ∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。···13分