Question

設函數f（x）=m-

1

3x+1

（x∈R）：
（1）判斷并證明函數f（x）的單調性
（2）是否存在實數m使函數f（x）為奇函數？

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性的定義進行證明．
（2）利用函數奇偶性的定義進行判斷．

解答：解：（1）函數f（x）在R上為增函數．
證明：在R上任意設兩個實數x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1

3x2+1

-

1

3x1+1

=

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴3x1-3x20，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在R上為增函數．
（2）若函數f（x）為奇函數，則有f（0）=0，
即f（0）=m-

1

2

=0，
解得m=

1

2

．
此時f(x)=

1

2

-

1

3x+1

．
∴存在實數m=

1

2

使函數f（x）為奇函數

點評：本題主要考查函數單調性的證明，以及函數奇偶性的應用，要求熟練掌握函數單調性的定義以及函數奇偶性的性質．