Question

已知向量

m

=(2cosx，-

3

sin2x)，

n

=（cosx，1），設函數f（x）=

m

•

n

，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在區間[0，

π

2

]上有實數根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數量積公式化簡函數f（x）的解析式為-2sin（2x-

π

6

）+1，由此求得函數的最小正周期，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得
函數的單調遞減區間．
（Ⅱ）由題意可得函數y=f（x）的圖象和直線y=k 在區間[0，

π

2

]上有交點，由 0≤x≤

π

2

可得函數f（x）的值域，即為 k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=

m

•

n

=2cos²x-

3

sin2x=cos2x-

3

sin2x+1=2sin（

π

6

-2x）+1=-2sin（2x-

π

6

）+1，
∴函數的最小正周期為

2π

2

=π，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函數的減區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在區間[0，

π

2

]上有實數根，則函數y=f（x）的圖象和直線y=k 在區間[0，

π

2

]上有交點．
由 0≤x≤

π

2

 可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，∴-1≤-2sin（2x-

π

6

）+1≤2，
即函數f（x）的值域為[-1，2]，
故-1≤k≤2，即k的取值范圍為[-1，2]．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，兩角和差的正弦公式，正弦函數的單調性、定義域和值域，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．