Question

【題目】已知f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函數．

（1）求k的值；

（2）判斷函數y=f（x）-x在R上的單調性，并加以證明；

（3）設g（x）=log4（a2x-a），若函數f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k=- (2)見證明；(3) （1，+∞）∪{-3}

【解析】

（1）由偶函數的定義可得f（-x）=f（x），結合對數函數的運算性質，解方程可得所求值；

（2）函數h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上遞減，運用單調性的定義和對數函數的單調性，即可證明；

（3）由題意可得log4（4x+1）-x=log4（a2x-a）有且只有一個實根，可化為2x+2-x=a2x-a，即有a=，化為a-1=，運用換元法和對勾函數的單調性，即可得到所求范圍．

（1）f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函數，

可得f（-x）=f（x），即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx，

即有log4=2kx，可得，即

由x∈R，可得；

（2）函數h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上遞減，

理由：設x1＜x2，則h（x1）-h（x2）=log4（4x1+1）-x1-log4（4x2+1）+x2

=log4（4-x1+1）-log4（4-x2+1），

由x1＜x2，可得-x1＞-x2，可得log4（4-x1+1）＞log4（4-x2+1），

則h（x1）＞h（x2），即y=f（x）-x在R上遞減；

（3）g（x）=log4（a2x-a），若函數f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個交點，

即為log4（4x+1）-x=log4（a2x-a）有且只有一個實根，

可化為2x+2-x=a2x-a，

即有a=，化為a-1=，

可令t=1+2x（t＞1），則2x=，

則a-1==，

由9t+-34在（1，）遞減，（，+∞）遞增，

可得9t+-34的最小值為2-34=-4，

當a-1=-4時，即a=-3滿足兩圖象只有一個交點；

當t=1時，9t+-34=0，可得a-1＞0時，即a＞1時，兩圖象只有一個交點，

綜上可得a的范圍是（1，+∞）∪{-3}．