Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調遞減區間；

（2）若關于的不等式恒成立，求整數的最小值；

（3）若正實數滿足，證明：.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為（2）（3）證明見解析

【解析】

(1)求出函數的定義域與導數，通過導數的符號求函數的單調區間；(2)問題轉化為恒成立，先求，然后分別討論當和時函數的單調性，根據單調性求的最大值，若最大值小于零，則不等式恒成立，否則不恒成立，由此確定整數的最小值；(3) 由題意得，即，因為均為正實數，令，分析確定其最小值，也就是的最小值，所以解不等式可以確定，命題得證.

解：（1）定義域為

由，即，解得或

∴單調遞減區間為.

（2）設

不等式恒成立等價于恒成立，

當時，則，，

所以，在上單調遞增，

因為，不符合題意；

當時，

	+	0	-
	單調遞增	極大值	單調遞減

設在單調遞減且

所以當時，

所以整數的最小值為2；

(3)由題意得，

即，

令，，則，

在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，

所以，令，

則且，解得成立.