Question

（2012•楊浦區一模）已知△ABC的三個頂點在拋物線Γ：x²=y上運動．
（1）求Γ的準線方程；
（2）已知點P的坐標為（2，6），F為拋物線Γ的焦點，求|AP|+|AF|的最小值，并求此時A點的坐標；
（3）若點A在坐標原點，BC邊過定點N（0，1），點M在BC上，且

AM

•

BC

=0，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的方程，可得拋物線的焦點在y軸上，開口向上，故可得準線方程；
（2）利用拋物線的定義，將點到焦點距離轉化為到準線的距離，利用三點共線，即可得到結論；
（3）利用向量的垂直關系，即可求M的軌跡方程．

解答：解：（1）由x²=y得拋物線的焦點在y軸上，且2p=1，所以準線為y=-

1

4

             …（3分）
（2）解：由x²=y得拋物線的焦點在y軸上，且2p=1，所以，焦點坐標為（0，

1

4

）                  …（4分）
由A作準線為y=-

1

4

的垂線，垂足為Q，當且僅當三點P，A，Q共線時，|AP|+|AF|取得最小，最小值為6+

1

4

=

25

4

，…（7分）
此時A點的坐標為（2，4）…（9分）
（3）設點M的坐標為（x，y），BC邊所在的方程過定點N（0，1），…（10分）
∴

AM

=(x，y)，

MN

=(-x，1-y)
∵

AM

•

BC

=0
∴

AM

•

MN

=0，
所以，-x×x+y（1-y）=0，即y²+x²-y=0（x≠0）…（16分）

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的定義與性質，考查軌跡方程的求解，定位定量是關鍵．