Question

（2012•楊浦區一模）設函數f（x）=log2(2x+1)的反函數為y=f^-1（x），若關于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，則實數m的取值范圍是

[log2

1

3

，log2

3

5

]

．

Answer 1

分析：由f（x）=log2(2x+1)可求得y=f^-1（x），又關于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，可得m=log2

2x-1

2x+1

，從而可得答案．

解答：解：∵y=f（x）=log2(2x+1)，
∴2^x+1=2^y，
∴x=log2(2y-1)，
∴y=f^-1（x）=log2(2x-1)；
∵關于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，
∴m=f^-1（x）-f（x）=log2

2x-1

2x+1

在[1，2]上有解，而y=log2

2x-1

2x+1

為增函數，
∴log2

21-1

21+1

≤m≤log2

22-1

22+1

，即log2

1

3

≤m≤log2

3

5

．
故答案為：[log2

1

3

，log2

3

5

]．

點評：本題考查反函數，通過反函數考查函數恒成立問題，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．