Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，an=

sn

n

+2(n-1)（n=1，2，3…）
（1）求證數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫(xiě)出a_n和s_n關(guān)于n表達(dá)式
（2）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n
（3）是否存在自然數(shù)n值得s1+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-(n-1)2=2009？若存在，求出n值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

進(jìn)行求出 a_n-a_n-1=4，從而可證數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a_n和s_n關(guān)于n表達(dá)式亦可求．
（2）

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)應(yīng)用裂項(xiàng)求和法即可．
（3）由

sn

n

=2n-1，計(jì)算s1+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-(n-1)2=2009，解關(guān)于n的方程．

解答：解：（1）由 an=

sn

n

+2(n-1)
得s_n=na_n-2n（n-1）
當(dāng)n≥2時(shí)a_n=s_n-s_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1）
得 a_n-a_n-1=4（n=2，3，4…）
故{a_n}是的a₁=1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列a_n=4n-3，s_n=2n²-n
（2）Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+…+

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

[(

1

1

-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+(

1

9

-

1

13

)+…+(

1

4n-3

-

1

an+1

)]
=

1

4

(1-

1

4n+1

)
（3）由

sn

n

=2n-1
∴s1+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-(n-1)2=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²=n²-（n-1）²=2n-1
令2n-1=2009
得n=1005
所以有在滿(mǎn)足條件的自然數(shù)n=1005

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式、求和．考查了裂項(xiàng)求和法、轉(zhuǎn)化計(jì)算能力．