Question

已知橢圓中心在坐標原點O，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），直線l平行OM，且與橢圓交于A、B兩個不同的點．
（1）求橢圓方程；
（2）若∠AOB為鈍角，求直線l在y軸上的截距m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形．

Answer 1

（1）解：設橢圓方程，依題意可得…2分
可得，所以橢圓方程為….4分
（2）解：設l方程為：，與橢圓方程聯立得：x²+2mx+2m²-4=0
由韋達定理得：x₁+x₂=-2m，…6分
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為∠AOB為鈍角，所以
==…7分
又直線l平行OM，∴….8分
（3）證明：依題即證k_AM+k_BM=0…9分
而..…10分
將，代入上式，得….12分
將（2）中韋達定理代入得，上式==0
即證．…14分
分析：（1）設橢圓方程，利用長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），建立方程組，即可求得橢圓方程；
（2）設l方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及∠AOB為鈍角，結合向量知識，即可求直線l在y軸上的截距m的取值范圍；
（3）依題即證k_AM+k_BM=0，利用韋達定理代入，即可證得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．