已知橢圓中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q點，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓的方程.

解析：設直線y=x+1與橢圓mx²+ny²=1(m＞0,n＞0)的交點為P(x₁,y₁)、Q（x₂,y₂），聯立方程組消去y，得(m+n)x²+2nx+(n-1)=0.

∴又OP⊥OQ,∴x₁x₂+y₁y₂=0,即2x₁x₂+(x₁+x₂)+1=0.從而得出

2· +1=0，解得m+n=2. ①

由|PQ|=,得=,

即=，解得mn=. ②

聯立①②解得故所求橢圓方程為或.

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已知橢圓中心在坐標原點O，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），直線l平行OM，且與橢圓交于A、B兩個不同的點．
（1）求橢圓方程；
（2）若∠AOB為鈍角，求直線l在y軸上的截距m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形．

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