Question

（2012•廣元三模）正四面體ABCD的棱長為1，則其外接球球面上A、B兩點間的球面距離為

（π-arcos

1

3

）

6

4

（或

6

4

arcos（-

1

3

））

．

Answer 1

分析：由題意求出外接球的半徑，然后求出∠AOB的大小，即可求解其外接球球面上A、B兩點間的球面距離．

解答：解：正四面體的棱長為1，所以面上的高為

3

2

，面中心到頂點的距離為

3

3

，
所以正四面體的高為：

1-( 3 3 )2

=

6

3

．
正四面體的內切球半徑為r，由等體積法知，4×

1

3

s×r=

1

3

s×

6

3

，（s是正四面體的底面面積），
∴r=

6

12

，
正四面體的外接球的半徑為：

6

3

-

6

12

=

6

4

．
設球心為O．
∴cos∠AOB=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-12

2× 6 4 × 6 4

=-

1

3

，
∠AOB=π-arccos

1

3

，
外接球球面上A、B兩點間的球面距離為：

6

4

(π-arccos

1

3

)．
故答案為：

6

4

(π-arccos

1

3

)．（或

6

4

arcos（-

1

3

））

點評：本題考查正四面體的外接球的球面距離的求法，考查空間想象能力，計算能力．