Question

△ABC中，若已知三邊為連續正整數，最大內角為鈍角，
①求最大角的余弦值；  
②求以此最大角為內角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積．

Answer 1

分析：（1）設△ABC的三邊a、b、c的長度分別為n-1、n、n+1（n∈N^*且n＞1），根據兩邊之和大于第三邊和C為鈍角，建立不等式并解之可得2＜n＜4，因此n=3可得△ABC三邊長分別為2，3，4．最后根據余弦定理即可算出最大角的余弦值；  
（2）由（1）得最大角是角C，利用同角三角函數的關系算出sinC=

15

4

，設平行四邊形兩邊分別為m、n，可得它的面積為S=mnsinC=

15

4

mn，再根據m+n=4用基本不等式求最值，即可得到當且僅當m=n=2時平行四邊形面積最大值為

15

．

解答：解：（1）設△ABC的三邊a、b、c的長度分別為n-1、n、n+1（n∈N^*且n＞1），
∵（n-1）+n＞n+1，∴n＞2，得n是大于3的整數
∵△ABC是鈍角三角形，可得∠C為鈍角，有cosC＜0，
由余弦定理得：（n+1）²=（n-1）²+n²-2n（n-1）•cosC＞（n-1）²+n²，
即（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒n²-4n＜0⇒0＜n＜4，
因此，整數n的值為3，可得△ABC三邊長分別為2，3，4．
∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

4+9-16

2×2×3

=-

1

4

∴最大角的余弦值為-

1

4

（2）由（1）得，最大角C的正弦為sinC=

1-cos2C

=

15

4

，
設夾角C的平行四邊形兩邊分別為m、n，
∵m+n=4，∴mn≤(

m+n

2

)2=4，當且僅當m=n=2時，mn的最大值為4
因此，平行四邊形的面積S=mnsinC=

15

4

mn≤

15

4

×4=

15

∴當平行四邊形兩邊都等于2時，夾角C的平行四邊形面積最大值為

15

．

點評：本題給出三邊長為連續整數的三角形，且最大角為鈍角時求最大角的余弦之值，并依此求一個平行四邊形的面積最大值，著重考查了利用正余弦定理解三角形、用基本不等式求最值和平行四邊形面積公式等知識，屬于中檔題．