Question

【題目】已知曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線 的距離小1.
（1）求曲線C的方程；
（2）過點 P(2，2)的直線m與曲線C交于A,B兩點，設當△AOB的面積為4時（O為坐標原點），求 的值.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】 點M到點F(1.0)的距離比它到直線的距離小于1，

∴點M在直線l的上方，點M到F（1，0）的距離與它到直線 的距離相等 所以點M的軌跡C是以F為焦點，l'為準線的拋物線 ，所以曲線C的方程為x2=4y .

（2）

【解答】當直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題意，

設直線m的方程為 ，代入 （*）

,對恒成立,所以直線m與曲線C恒有兩個不同的交點設交點A，B的坐標分別為 ，

則

所以

點O到直線m的距離 ，

所以

所以或（舍去）

或

當 是, 方程（*）的解為 ,或

當 時 方程（☆）的解為

【解析】（1）由題設知：點M的軌跡C是以F為焦點，l′為準線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．（2）設直線m的方程為y=kx+（2-2k），代入x2=4y，得x2-4kx+8（k-1）=0，由△=16（k2-2k+2）＞0對k∈R恒成立，知直線m與曲線C恒有兩個不同的交點，再由韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，利用 、△AOB的面積為4 ，能求出λ的值．