Question

（2012•濰坊二模）①函數y=sin(x-

π

2

)在[0，π]上是減函數；
②點A（1，1）、B（2，7）在直線3x-y=0兩側；
③數列{a_n}為遞減的等差數列，a₁+a₅=0，設數列{a_n}的前n項和為S_n，則當n=4時，S_n取得最大值；
④定義運算

.

a1 b1

a2 b2

.

=a1b2-a2b1則函數f(x)=

.

x2+3x x

1 1 3 x

.

的圖象在點(1，

1

3

)處的切線方程是6x-3y-5=0．
其中正確命題的序號是

②④

（把所有正確命題的序號都寫上）．

Answer 1

分析：①，利用誘導公式將y=sin（x-

π

2

）轉化為y=-cosx，利用余弦函數的單調性即可判斷其正誤；
②，將A（1，1）、B（2，7）的坐標分別代入3x-y，觀察乘積的符號即可判斷；
③，由題意結合等差數列的性質可判斷③的正誤；
④，依題意可求得f（x）的解析式，從而可求得在點（1，

1

3

）處的切線方程，繼而可作出判斷；

解答：解：①，∵y=sin（x-

π

2

）=-cosx，在[0，π]上是增函數，故①錯誤；
②，將A（1，1）、B（2，7）的坐標分別代入3x-y得（3×1-1）•（3×2-7）=-2＜0，故點A（1，1）、B（2，7）在直線3x-y=0兩側，即②正確；
③，∵數列{a_n}為遞減的等差數列，a₁+a₅=0，又a₁+a₅=2a₃，
∴2a₃=0，
故當n=2或3時S_n取得最大值，故③錯誤；
④，∵

.

a1 a2 b1 b2

.

=a₁b₂-a₂b₁，
∴f（x）=

.

x2+3x 1 x 1 3 x

.

=

1

3

x³+x²-x，
∴[f′（x）]|_x=1=（x²+2x-1）|_x=1=2，
∴f（x）的圖象在點（1，

1

3

）處的切線方程為：y-

1

3

=2（x-1），整理得：6x-3y-5=0，故④正確；
綜上所述，正確答案為②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查三角函數、平面區域、等差數列、及函數與導數等知識，屬于中檔題．