Question

已知f(x)在(-1，1)上有定義，f()＝1，且滿足當x，y∈(-1，1)時，有f(x)-f(y)＝f()，數列{x_n}中有x₁＝，x_n+1＝.

(1)證明f(x)在(-1，1)上為奇函數；

(2)求f(x_n)的表達式；

(3)是否存在自然數m，使得對于任意n∈N^*，有++…+＜成立？若存在，求出m的最小值.

Answer 1

(1)證明：當x=y時，f(0)=0；                                      

令x=0，得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(y)+f(-y)=0,                                    

∴對任意的x∈(-1，1)，有f(x)+f(-x)=0.

故f(x)在(-1，1)上為奇函數.                                               

(2)解：∵數列{x_n}滿足x₁=，x_n+1=.

∴0＜x_n＜1.                                                              

∴f(x_n)-f(-x_n)=f［］=f().                                

又f(x)在(-1，1)為奇函數,

∴f(x_n+1)=2f(x_n).

由f()=1，x₁=，有f(x₁)=1,從而f(x_n)=2ⁿ-1.                              

(3)解:++…+=1+++…+=2-.              

假設存在自然數m，使得對于任意的n∈N^*，

有++…+＜成立，即2-＜恒成立.        

∴≥2，解得m≥16.                                               1

∴.存在自然數m≥16，使得對于任意n∈N^*，有++…+＜成立.

此時，m的最小值為16.