Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，且點和分別為和的中點

（I）求證：平面；

（II）求二面角的正弦值；

（III）設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求的長。

Answer 1

【答案】（I）見解析（II）（III）

【解析】

（I）建立空間直角坐標系，通過與面的法向量垂直可證得結果；（II）分別求解出平面和平面的法向量，求解出法向量成角的余弦值，根據同角三角函數關系可得所求正弦值；（III）假設，則與平面法向量的夾角的余弦值的絕對值即為直線和平面所成角的正弦值，從而構造方程求得，繼而求得.

（I）以為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則，，，

，，，

平面的法向量

又，

，面 面

（II）設面的法向量，且，

，令，則，

設面的法向量，且，

，令，則，

即二面角的正弦值是

（III）設，則

又面的法向量

，解得：或（舍）

，即