Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，分別為中點，且，.

（1）平面；

（2）若為線段上一點，且平面，求的值；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連結，利用勾股定理逆定理可證明，又易證，可證明平面（2）連接，根據，平面可得，進而，利用為中點可得結論（3）取的中點連結，由（1）知，且，，建立空間直角坐標系，求平面，平面的法向量，計算其夾角即可.

（1）證明：連結

，為的中點

，且，

又，是中點，，

由已知，

，且是平面內兩條相交直線

平面.

（2）連接，由已知底面為直角梯形，，

則四邊形為平行四邊形

所以

因為平面，平面，平面平面，

所以

所以

因為為中點，所以為中點

所以，又因為點為的中點.

所以.

（3）取的中點連結，由（1）知，且，，

如圖，建立空間直角坐標系.

因為

所以，，

，

由于平面，所以平面的法向量

設平面的法向量，則有

即

令，則，，即

由題知二面角為銳二面角

所以二面角的大小為.