Question

三角形ABC中，角A、B、C所對邊分別為a，b，c，且

2

sinB=

3cosB

．
（1）若cosA=

1

3

，求sinC的值；
（2）若b=

7

，sinA=3sinC，求三角形ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（1）將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數間基本關系化簡求出cosB的值，即可確定出B的度數；
（2）利用正弦定理化簡sinA=3sinC，得到a=3c，利用余弦定理列出關系式，將b，cosB，以及a=3c代入求出c的值，進而求出a的值，再由sinB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答： 解：（1）由

2

sinB=

3cosB

，兩邊平方得2sin²B=3cosB，即2（1-cos²B）=3cosB，
解得：cosB=

1

2

或cosB=-2（舍去），
又B為三角形內角，
∴B=

π

3

，
∵cosA=

1

3

，且A為三角形內角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
則sinC=sin（B+A）=sin（

π

3

+A）=

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3 +2 2

6

；
（2）∵sinA=3sinC，由正弦定理可得a=3c，
∵cosB=

1

2

，b=

7

，
∴由余弦定理知：b²=a²+c²-2accosB，即7=9c²+c²-3c²，
解得：c=1，a=3c=3，
則S_△ABC=

1

2

acsinB=

3 3

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．