Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O為原點．
（1）若

AC

⊥

BC

，求sin2α的值；
（2）若丨

OC

+

OA

丨=

13

，α∈（0，π），求

OB

與

OC

的夾角．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直，得到三角關系．（2）利用丨

OC

+

OA

丨=

13

，得到

OB

與

OC

的夾角．

解答：解：（1）因為A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
所以

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)，
因

AC

⊥

BC

，所以（cosα-3，sinα）?（cosα，sinα-3）=0  （2分）
則sinα+cosα=

1

3

…（4分）
則平方得2sinαcosα=sin2α=-

8

9

  …（6分）
（2）由丨

OC

+

OA

丨=

13

，α∈（0，π），平方得cosα=

1

2

，所以sinα=

3

2

．
即C（

1

2

，

3

2

），
設

OB

與

OC

的夾角為θ，
則cosθ=

OB ? OC

| OB |?| OC |

=

3× 3 2

3×1

=

3

2

．
所以θ=

π

6

．
即

OB

與

OC

的夾角為

π

6

．

點評：本題主要考查向量數量積的基本應用，要求熟練掌握．