Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ ，g（x）=2ln（x+1）+e﹣x ．
（1）x∈（﹣1，+∞）時，證明：f（x）＞0；
（2）a＞0，若g（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ex﹣ ，f′（x）=ex﹣x﹣1，

令p（x）=f′（x）=ex﹣x﹣1，p′（x）=ex﹣1，

在（﹣1，0）內，p′（x）＜0，p（x）單減；在（0，+∞）內，p′（x）＞0，p（x）單增．

所以p（x）的最小值為p（0）=0，即f′（x）≥0，

所以f（x）在（﹣1，+∞）內單調遞增，即f（x）＞f（﹣1）＞0．

（2）解：令h（x）=g（x）﹣（ax+1），則h′（x）= ﹣e﹣x﹣a，

令q（x）= ﹣e﹣x﹣a，q′（x）= ﹣ ．

由（1）得q′（x）＜0，則q（x）在（﹣1，+∞）上單調遞減．

①當a=1時，q（0）=h′（0）=0且h（0）=0．

在（﹣1，0）上h′（x）＞0，h（x）單調遞增，在（0，+∞）上h'（x）＜0，h（x）單調遞減，

所以h（x）的最大值為h（0），即h（x）≤0恒成立．

②當a＞1時，h′（0）＜0，

x∈（﹣1，0）時，h′（x）= ﹣e﹣x﹣a＜ ﹣1﹣a=0，解得x= ∈（﹣1，0）．

即x∈（ ，0）時h′（x）＜0，h（x）單調遞減，

又h（0）=0，所以此時h（x）＞0，與h（x）≤0恒成立矛盾．

③當0＜a＜1時，h′（0）＞0，

x∈（0，+∞）時，h′（x）= ﹣e﹣x﹣a＞ ﹣1﹣a=0，解得x= ∈（0，+∞）．

即x∈（0， ）時h′（x）＞0，h（x）單調遞增，

又h（0）=0，所以此時h（x）＞0，與h（x）≤0恒成立矛盾．

綜上，a的取值為1．

【解析】（1）求出函數的導數，令p（x）=f′（x），推出p′（x）=ex﹣1，
求出函數p（x）的最小值為p（0）=0，判斷f（x）在（﹣1，+∞）內單調遞增，證明f（x）＞0．（2）令h（x）=g（x）﹣（ax+1），得到h′（x）= ﹣e﹣x﹣a，構造q（x）= ﹣e﹣x﹣a，求出q′（x）= ﹣ ．求出q（x）在（﹣1，+∞）上單調遞減，①當a=1時，求出h（x）的最大值為h（0），即h（x）≤0恒成立．②當a＞1時，h′（0）＜0，推出h（x）＞0，與h（x）≤0恒成立矛盾．③當0＜a＜1時，推出h（x）＞0，與h（x）≤0恒成立矛盾．推出a的取值為1．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．