Question

設點P在曲線y=x²上，從原點向A（2，4）移動，如果直線OP，曲線y=x²及直線x=2所圍成的面積分別記為S₁、S₂．
（Ⅰ）當S₁=S₂時，求點P的坐標；
（Ⅱ）當S₁+S₂有最小值時，求點P的坐標和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）設點P的橫坐標為t（0＜t＜2），則P點的坐標為（t，t2），
直線OP的方程為y=tx
S₁=∫₀^t（tx-x²）dx=

1

6

t3，S₂=∫_t²（x²-tx）dx=

8

3

-2t+

1

6

t3，
因為S₁=S₂，，所以t=

4

3

，點P的坐標為（

4

3

，

16

9

）
S=S₁+S₂=

1

6

t3+

8

3

-2t+

1

6

t3=

1

3

t3-2t+

8

3

S^′=t²-2，令S'=0得t²-2=0，t=

2

因為0＜t＜

2

時，S'＜0；

2

＜t＜2時，S'＞0
所以，當t=

2

時，S_min=

8-4 2

3

，P點的坐標為（

2

，2）．