Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，且經過點，它的一個焦點與拋物線的焦點重合.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線過點，且與拋物線交于兩點，設點，的面積為，求的值；

（3）若直線過點，且與橢圓交于兩點，點關于軸的對稱點為，直線的縱截距為，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）把點坐標代入橢圓方程得，再結合焦點坐標可求得得橢圓方程；

（2）設直線，設，直線方程代入拋物線方程后可得，由弦長公式求得，求出到直線的距離，可表示出三角形面積，從而求得；

（3）設，得，由兩點坐標得出直線方程，求出，同樣由兩點坐標求出直線方程，從而求出，計算，注意兩點在橢圓上，有，，代入后可得常數．

[解]（1）設橢圓的方程為，由題設得，

，橢圓的方程是

（2）設直線，設，由得得.

與拋物線有兩個交點，，

，，

則

到的距離，又，

，故.

（3）設，點關于軸的對稱點為，

則直線，設得

直線，設得

，又，，