Question

已知函數f（x）=lnx+ax．
（I）若對一切x＞0，f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍；
（II）在函數f（x）的圖象上取定兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x）₂）（x₁＜x₂），記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立．

Answer 1

分析：（I）對一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即對一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，分離參數，求出函數的最值，即可求得結論；
（II）要證明存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立，只要證明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）內有解即可．

解答：（I）解：對一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即對一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，∴a≤

1

x

-

lnx

x

令g（x）=

1

x

-

lnx

x

，則g′(x)=

lnx-2

x2

令g′（x）＜0，可得0＜x＜e²；令g′（x）＞0，可得x＞e²，
∴x=e²時，g（x）取得最小值g（e²）=-

1

e2

∴a≤-

1

e2

；
（II）證明：由題意，k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

+a
要證明存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立，只要證明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）內有解即可
令h（x）=f′（x）-k=

1

x

-

lnx2-lnx1

x2-x1

，只要證明h（x）在（x₁，x₂）內存在零點即可
∵h（x）在（x₁，x₂）內是減函數，只要證明h（x₁）＞0，h（x₂）＜0
即證

x2

x1

-1-ln

x2

x1

＞0，

x1

x2

-1-ln

x1

x2

＞0
令F（t）=t-1-lnt（t＞0），∵F′（t）=1-

1

t

，∴函數在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增
∴函數在t=1時，取得最小值0，∴F（t）≥0
∵

x1

x2

＞0且

x1

x2

≠1；

x2

x1

＞0且

x2

x1

≠1
∴

x2

x1

-1-ln

x2

x1

＞0，

x1

x2

-1-ln

x1

x2

＞0
∴結論成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．