Question

【題目】已知是圓：上任意一點，，線段的垂直平分線與半徑交于點，當點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）記曲線與軸交于兩點，是直線上任意一點，直線，與曲線的另一個交點分別為，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)見解析

【解析】

（1）由已知，利用橢圓的定義計算即可；

（2）設點，直線的方程為:，與聯立得： ，設點 ，則， ；設點 同理得，；由即可得出結論.

（1）由線段的垂直平分線與半徑交于點，得，

所以點的軌跡為以焦點，長軸長為的橢圓， 故 ， ，

曲線的方程為

（2）由（1）得 ,設點的坐標為 ，直線的方程為: ，

將與聯立整理得： ，

設點的坐標為 ，則 ，故，則 ，

直線的方程為:，將與聯立整理得：，

設點的坐標為 ，則 ，故，則，

的斜率為

的斜率為

因為 ，所以直線經過定點.