Question

如圖，已知的直徑AB＝3，點C為上異于A，B的一點，平面ABC，且VC＝2，點M為線段VB的中點.
(1)求證：平面VAC；
(2)若AC＝1，求二面角M－VA－C的余弦值.

Answer 1

(1)見解析；(2)

解析試題分析：(1)證明直線與平面垂直的關鍵是證明該直線與平面內兩條相交直線都垂直；(2)求二面角可以利用幾何法，先找出二面角的平面角，也可以利用空間坐標系，找出平面的法向量求解.
試題解析：(1)∵平面，平面
∴        2分
∵點C為上一點，且AB為直徑
∴        4分
又平面VAC，
∴平面VAC；        6分
(2)由(1)得，
分別以CA，CB，CV所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系C－xyz如圖所示.     7分
則A(1，0，0)，V(0，0，2)，B(0，2，0)

設平面VAC的法向量為     8分
＝(1，，，，－2)，＝(－1，2，0)
設平面VAM的法向量為n＝(x，y，z)
由，得
取，得x＝4，z＝2
即           9分
∴        11分
∴二面角M－VA－C的余弦值為.        12分
考點：空間直線與平面垂直的判定，二面角的計算，空間直角坐標系，空間向量的應用.