Question

 計算下列定積分
（1）x(x+1)dx;
(2) (e^2x+)dx;
(3) sin²xdx.

Answer 1

（1）（2）e⁴-e²+ln2（3）

 （1）∵x（x+1）=x²+x且(x³)′=x²,(x²)′=x,
∴x(x+1)dx=(x²+x)dx
=x²dx+xdx=x³|+x²|=(×2³-0)+(×2²-0)=.
(2)∵(lnx)′=,(e^2x)′=e^2x·(2x)′=2e^2x,
得e^2x=(e^2x)′
所以（e^2x+)dx=e^2xdx+dx=e^2x|+lnx|
=e⁴-e²+ln2-ln1=e⁴-e²+ln2.
(3)由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得
cos2x=（sin2x）′,
所以sin²xdx=（-cos2x）dx
=dx-cos2xdx
=x|-（sin2x）|
=（-0）-（sin2 -sin0）=.