Question

如圖所示，拋物線y=4-x²與直線y=3x的兩交點為A、B，點P在拋物線上從A向B運動.

（1）求使△PAB的面積最大的P點的坐標(a,b);
(2)證明由拋物線與線段AB圍成的圖形，被直線x=a分為面積相等的兩部分.

Answer 1

（1）P點的坐標為（-,）時，△PAB的面積最大（2）證明見解析

（1） 解方程組，得x₁=1,x₂=-4.
∴拋物線y=4-x²與直線y=3x的交點為
A（1，3），B（-4，-12），
∴P點的橫坐標a∈(-4,1).
點P（a,b)到直線y=3x的距離為d=,
∵P點在拋物線上，∴b=4-a²，
=·(4-3a-a²)′= (-2a-3)=0,
∴a=-，即當a=-時，d最大，
這時b=4-=,
∴P點的坐標為（-,）時，△PAB的面積最大.
（2） 設上述拋物線與直線所圍成圖形的面積為S,
位于x=-右側的面積為S₁.
S=（4-x²-3x)dx=,
S₁=（4-x²-3x)dx=,
∴S=2S₁,即直線x=-平分拋物線與線段AB圍成的圖形的面積.