Question

【題目】有兩個命題，p：關于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函數y=lg（ax2﹣x+a）的定義域為R．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：p：關于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1．
q：函數y=lg（ax2﹣x+a）的定義域為R．等價于x∈R，ax2﹣x+a＞0．
如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．
（i）a=0 不成立．
（ii）a≠0 時， ，解得 ，即q： ．
如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p真q假，或p假q真，
∴ 或 ，
解得 ，或a≥1．
∴實數a的取值范圍是 ，或a≥1．
【解析】對于命題p：利用指數函數的單調性可得：0＜a＜1．
對于命題q：函數y=lg（ax2﹣x+a）的定義域為R．等價于x∈R，ax2﹣x+a＞0．對a分類討論，利用函數的圖象與性質即可得出．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p真q假，或p假q真，即可得出．