Question

若點A（m，0）到雙曲線

x2

4

-y2=1的實軸的一個端點的距離是A到雙曲線上的各個點的距離的最小值，則m的取值范圍是（　　）

A．[-2，2]	B．[- 5 ， 5 ]
C．[- 5 2 ， 5 2 ]	D．(-∞，- 3 2 ]∪[ 3 2 ，+∞)

Answer 1

由題意知雙曲線

x2

4

-y²=1焦點在x軸上，且a=2，b=1，c=

5

，
∴雙曲線的左、右頂點分別為為M（-2，0）、N（2，0）；

顯然，當-2≤m＜0時，點A（m，0）到雙曲線的左頂點的距離最短，
當0＜m≤2時，點A（m，0）到雙曲線的右頂點的距離最短，
當m=0時，點A（m，0）到雙曲線的左、右頂點的距離相等且最短；
當m＞2時，設雙曲線右支上任意一點P（x，y），
|PA|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+

x2

4

-1≥|AN|²=（2-m）²，
∴x²-2mx+

x2

4

-1≥4-4m，
∴（2x-4）m≤

5

4

x²-5=

5

4

（x²-4），
∵x≥2，
∴m≤

5

8

（x+2），又（x+2）_min=4，
∴m≤

5

2

，
綜上，2＜m≤

5

2

時，點A（m，0）到雙曲線的右頂點的距離最短；
同理可得，當-

5

2

≤m＜-2時，點A（m，0）到雙曲線的左頂點的距離最短．
綜上所述，當-

5

2

≤m≤

5

2

時，滿足題意．
故選：C．