Question

給出封閉函數的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值f（x₀）∈D，則稱函數y=f（x）在D上封閉．若定義域D=（0，1），則函數①f₁（x）=3x-1；②f₂（x）=-

1

2

x²-

1

2

x+1；③f₃（x）=1-x；④f₄（x）=x，其中在D上封閉的是

 

．（填序號即可）

Answer 1

分析：由f₁（x）=0∉（0，1）得f₁（x）在D上不封閉．f₂（x）=-x²-x+1在（0，1）上是減函數，0=f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，得f₂（x）適合．而f₃（x）=1-x在（0，1）上是減函，0=f₃（1）＜f₃（x）＜f₃（0）=1，f₃（x）適合．而f₄（x）=x在（0，1）上是增函數，且0=f₄（0）＜f₄（x）＜f₄（1）=1，f₄（x）適合．從而得到結果．

解答：解：∵f₁=0∉（0，1），
∴f₁（x）在D上不封閉．
∵f₂（x）=-x²-x+1在（0，1）上是減函數，
∴0=f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，
∴f₂（x）適合．
∵f₃（x）=1-x在（0，1）上是減函數，
∴0=f₃（1）＜f₃（x）＜f₃（0）=1，
∴f₃（x）適合．
又∵f₄（x）=x在（0，1）上是增函數，
且0=f₄（0）＜f₄（x）＜f₄（1）=1，
∴f₄（x）適合．
故答案為：②③④

點評：本題以新給出的定義為載體考查了函數的單調性，同時考查了學生靈活應用知識解決問題的能力，是個基礎題．